Tổng hợp các dạng bài tập xét dấu tam thức bậc 2 cơ bản nhất

Gia sư

1. Kiến thức chung về tam thức bậc 2

Trước khi đến với các dạng bài tập xét dấu tam thức bậc 2 thì chúng ta sẽ cần phải nắm rõ về các kiến thức chung của chuyên đề này.

Về định nghĩa của tam thức bậc 2, chúng ta sẽ hiểu như sau: tam thức bậc 2 đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c. Trong đó thì a, b, c là những hệ số và a ǂ 0.

Ví dụ về tam thức bậc 2 để các bạn có thể hiểu hơn về định nghĩa này đó là:

- f(x) = x² – 3x + 2

- f(x) = x² – 4

- f(x) = x²(x – 2)

Xem thêm: Gia sư toán lớp 10

2. Tìm hiểu về dấu của tam thức bậc 2

Về dấu của tam thức bậc 2 thì chúng ta sẽ có định lý là: cho f(x) = ax² + bx + c, ∆ = b² – 4ac, trong đó có các quy tắc sau:

- Nếu như ∆ < 0 thì f(x) sẽ luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ϵ R.

- Nếu như ∆ = 0 thì f(x) sẽ luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x = -b/2a.

- Nếu ∆ > 0 thì f(x) sẽ luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x₁ hoặc là x > x₂, f(x) trái dấu với hệ số a khi x₁ < x < x₂, trong đó thì x₁x₂ là 2 nghiệm của f(x).

Đối với cách xét dấu của tam thức bậc 2 thì các bạn cần nắm được các bước như sau:

- Tìm nghiệm của tam thức trước

- Tiếp đến lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a

- Cuối cùng là dựa vào bảng xét dấu và đưa ra kết luận.

Đọc ngay: Bài tập bất đẳng thức cosi có lời giải

3. Các dạng bài tập xét dấu tam thức bậc 2 cơ bản kèm ví dụ

Hiện nay, trong chuyên đề dấu của tam thức bậc 2 có 2 dạng bài tập cơ bản dành cho các bạn với mức độ khó – dễ khác nhau. Các dạng này đều sẽ thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi trong quá trình học tập, thi lên cấp,… Do đó, các bạn học sinh bên cạnh việc nắm chắc lý thuyết cơ bản, các kiến thức chung nhất về tam thức bậc 2 thì cũng cần phải biết về các dạng bài tập này kèm theo cách giải. Vậy hãy cùng tìm hiểu chi tiết về các dạng bài tập xét dấu tam thức bậc 2 nhé.

3.1. Dạng bài xét dấu của biểu thức chứa tham thức bậc 2

Dạng bài tập thứ 1 mà các bạn cần lưu ý trong chuyên đề xét dấu của tam thức bậc 2 đó chính là xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc 2. Dạng này thì không quá phức tạp, kiến thức thuộc dạng cơ bản. Phương pháp giải dạng toán này sẽ dựa vào định lý dấu của tam thức bậc 2 để xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc 2. Cụ thể về cách thức thực hiện giải toán là:

- Đối với đa thức bậc cao P(x) thì ta làm như sau:

+ Tiến hành phân tích đa thức P(x) thành tích các tam thức bậc 2 hoặc là có cả nhị thức bậc nhất.

+ Lập bảng xét dấu của P(x).

- Đối với phân thức  P(x)/Q(x), trong đó P(x), Q(x) là các đa thức thì ta sẽ làm như sau:

+ Phân tích đa thức P(x), Q(x) thành tích của các tam thức bậc 2 hoặc là có cả nhị thức bậc nhất.

+ Tiến hành lập bảng xét dấu của P(x)/Q(x).

Để các bạn hiểu rõ hơn về dạng bài tập này, chúng ta sẽ cùng đến với một số ví dụ dưới đây:

Ví dụ: Xét dấu của tam thức bậc 2 trong các trường hợp sau:

a) 3x² – 2x + 1

b) – x² + 4x + 5

c) – 4x² + 12x – 9

d) 3x² – 2x – 8

e) 25x² + 10x + 1

f) – 2x² + 6x – 5

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: ∆’ = - 2 < 0, a = 3 > 0. Từ đó suy ra là 3x² – 2x + 1 > 0 với mọi x ϵ R.

b) Ta có – x² + 4x + 5 <=> x = - 1 hoặc là x = 5. Cụ thể, theo bảng xét dấu dưới đây thì sẽ suy ra được kết quả sau:

- Nếu – x² + 4x + 5 > 0 <=> x ϵ ( - 1; 5)

- Nếu  – x² + 4x + 5 > 0 <=> x ϵ ( - ∞; - 1) U (5; +∞).

c) Ta có ∆’ = 0, a < 0, từ đó suy ra – 4x² + 12x – 9 < 0 với mọi x ϵ R {3/2}.

d) Ta có 3x² – 2x – 8 = 0, từ đó suy ra 2 trường hợp là hoặc x = 2 hoặc là x = -4/3. Dựa vào bảng xét dấu dưới ta sẽ có kết quả là:

- Nếu như 3x² – 2x – 8 > 0 ó x ϵ ( - ∞; - 4/3) U (2; +∞)

- Nếu như 3x² – 2x – 8 < 0 ó x ϵ (-4/3; 2).

e) Ta có ∆’ = 0, a > 0, từ đó suy ra là 25x² + 10x + 1 > 0 với mọi x ϵ R{-1/5}.

f) Ta có ∆’ = -1 <0, a <0, từ đó suy ra là – 2x² + 6x – 5 <0 với mọi x ϵ R.

3.2. Dạng bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc 2

Dạng bài tập xét dấu tam thức bậc 2 thứ 2 mà các bạn cần ghi nhớ đó chính là bài toán chứa tham số có liên quan đến dấu của tam thức bậc 2. Đối với dạng này thì sẽ phức tạp hơn so với dạng 1 và chúng ta sẽ đi vào một số ví dụ cụ thể để các bạn dễ hình dung hơn về phương pháp giải toán nhé.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng đối với mọi giá trị của m thì:

a) Phương trình mx² – (3m + 2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm

b) Phương trình (m² + 5)x² – (căn bậc 2 của 3m  – 2)x + 1 = 0 luôn vô nghiệm

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

- Với m = 0 thì phương trình sẽ trở thành – 2x + 1 = 0 ó x = 1/2 và suy ra phương trình có nghiệm.

- Với m ǂ 0, ta có ∆ = (3m + 2)^{2 –} 4m = 9m² + 8m + 4.

Bởi tam thức 9m² + 8m + 4 có a_m = 9 >0,  ∆’_m = - 20 <0 nên 9m² + 8m + 4 > 0 với mọi m. Do đó, phương trình đã cho sẽ luôn có nghiệm với mọi m.

b) Ta có ∆ = (căn bậc 2 của 3m – 2)² – 4(m² + 5) = - m² - 4 căn bậc 2 của 3m – 16.

Bởi tam thức m² - 4 căn bậc 2 của 3m – 8 có a_m = -1 < 0, ∆’ = -4 < 0 nên m² - 4 căn bậc 2 của 3m – 8 < 0 với mọi m. Do đó phương trình đã cho sẽ luôn vô nghiệm đối với mọi m.

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để các biểu thức sau luôn đạt giá trị âm:

a) f(x) = mx² – x – 1

b) g(x) = (m – 4)x² + (2m – 8)x + m – 5

Hướng dẫn giải:

a) Nếu m = 0 thì f(x) = -x – 1 lấy cả giá trị dương như là f(-2) = 1, do đó m = 0 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Nếu m ǂ 0 thì f(x) = mx² – x – 1 là tam thức bậc 2, do đó f(x) < 0 với mọi x <=> a = m <0 và = 1 + 4m <0 <=> m < 0 và m > -1/4 <=> - 1/4 < m < 0.

b) Với m = 4 thì g(x) = -1 < 0 nên thỏa mãn yêu cầu của bài toán đưa ra.

Với m ǂ 4 thì g(x) = (m – 4)x² + (2m – 8)x + m – 5 là tam thức bậc 2. Do đó mà g(x) < 0 với mọi x <=> a = m – 4 < 0 và ∆’ = (m – 4)² – (m – 4)(m – 5) < 0 <=> m < 4 và m – 4 < 0 <=> m <4.

Như vậy, với m ≤ 4 thì giá trị của biểu thức g(x) đã cho luôn âm.

Ngoài các dạng bài tập về xét dấu tam thức bậc 2 trên thì các bạn có thể tham khảo thêm các thông tin liên quan đến chuyên đề này cùng một số bài tập khác theo các đề thi trong các file dưới đây nhé.

ungdung_tamthucbac2_giaitoan_2565.pdf

Trac-nghiem-DAU-CUA-TAM-THUC-BAC-HAI.docx

Toan-10-Bai-5-Dau-tam-thuc-bac-hai.pdf

Toan-10-Bai-5-Dau-tam-thuc-bac-hai.doc

tich_phan_cac_ham_so_co_mau_so_chua_tam_thuc_bac_2_025.pdf

tich_phan_cac_ham_so_co_mau_chua_tam_thuc_bac_2__0322.pdf

PBT-Tu-hoc-Toan-10-so-4.pdf

dinh_li_viet_va_ung_dung_hay_ghe_6986.doc

Đại số lớp 10 chương 4 - Bài dấu của tam thức bậc hai.pdf

Baitaptracnghiem.Net-110-cau-trac-nghiem-dau-cua-tam-thuc-bac-hai-co-dap-an.docx

02 - Dấu tam thức bậc hai và BPT bậc hai file word có lời giải chi tiết.doc

Hy vọng qua những thông tin mà bài viết cung cấp về bài tập xét dấu tam thức bậc 2 trên, các bạn đã có thể nắm được kiến thức cơ bản, cần thiết để áp dụng cho các bài kiểm tra, kỳ thi sắp tới nhé.